I problemi di Fermi: individuare le variabili chiave e ragionare per ordini di grandezza

Fermi ci insegna una strategia per risolvere velocemente problemi complessi, anche se non disponiamo delle informazioni necessarie.

Quanti accordatori di pianoforte ci sono a Chicago?

Questo è forse l’esempio più celebre dei problemi di Fermi, interrogativi che il più grande fisico italiano del ‘900 si divertiva a proporre ai suoi colleghi e studenti per valutarne le capacità di ragionamento.

I problemi di Fermi

Enrico Fermi (1901 – 1954) era riconosciuto tra i colleghi per la sua leggendaria capacità di stimare grandezze a mente con grande rapidità, disponendo apparentemente di informazioni insufficienti. Durante i suoi studi, acquisì infatti una maniera originale di ragionare sui problemi, riducendoli al loro nucleo essenziale e strutturando la soluzione in maniera ordinata, iniziando sempre dal punto giusto ed evitando le complicazioni non necessarie.

I problemi di Fermi non possono essere facilmente risolti in maniera esatta perché non si dispongono di tutte le informazioni, ma possono essere ridotti ad un numero finito di variabili che possono essere stimate per ordini di grandezza, cioè utilizzando approssimazioni per fattori di dieci (10, 100, 1000 e così via). Occorre quindi:

a) individuare le variabili chiave che influiscono sulla soluzione del problema, trascurando tutte le altre;

b) fornire una stima ragionevole di queste variabili, utilizzando ordini di grandezza;

c)  procedere in maniera ordinata per passaggi successivi.

Gli eventuali errori di stima delle variabili tenderanno in media a compensarsi tra loro, se rimaniamo nell’ordine di grandezza corretto: un numero troppo alto su una variabile tenderà ad essere controbilanciato da un numero troppo basso su un’altra. Se siamo stati in grado di individuare le variabili essenziali, possiamo ottenere una soluzione rapida piuttosto accurata anche senza avere informazioni ma solo utilizzando il ragionamento. Per ragionare come Fermi il punto critico è quindi la capacità di individuare gli elementi essenziali di un problema e scartare invece quelli non determinanti.

Alcuni colleghi, forse invidiosi di questa sua capacità di trovare soluzioni approssimativamente corrette prima di tutti gli altri, criticavano Fermi perché una volta applicato il suo metodo, sembrava perdere interesse ad approfondire ulteriormente i problemi: pensavano che non fosse in grado di effettuare calcoli matematici difficili. In realtà non era così: Fermi era anche un grande teorico e in matematica era in grado di tener testa al suo amico John Von Neumann, il più grande genio matematico del ‘900. Tuttavia non amava perdere tempo e voleva andare subito al cuore del problema, per ottenere una soluzione che fosse immediatamente utilizzabile. Come spiegò una volta a sua figlia Nella: “non fare mai nulla con precisione maggiore dello stretto necessario.”

 

“Non fare mai nulla con precisione maggiore dello stretto necessario.” (Enrico Fermi)

 

Gli accordatori di pianoforte

Ritorniamo al problema posto all’inizio e cerchiamo di risolverlo utilizzando il modo di ragionare di Fermi.

Il punto da cui partire sono sicuramente gli abitanti di Chicago. Quanti sono? 100.000, 1 milione o 10 milioni? Chicago è una città molto grande quindi probabilmente la stima più corretta per ordini di grandezza è 10 milioni. Ogni quante persone c’è un pianoforte: 10, 100 o 1000? Anche qui una stima ragionevole sembrerebbe 100. Per cui possiamo supporre che a Chicago ci siano circa 100.000 pianoforti. A questo punto dobbiamo chiederci quante volte un pianoforte viene accordato nel corso di un anno: possiamo ipotizzare 1 perché 10 è sicuramente troppo. Ne consegue che gli accordatori dovranno effettuare circa 100.000 interventi all’anno.

Quanti interventi è in grado di fare in un anno un accordatore? 100 – 1000? 100 sono davvero molto pochi e un accordatore che fa due interventi alla settimana non avrebbe molti guadagni. 1000 significa una media di circa 4 interventi per giorno lavorativo che è una stima più ragionevole. Quindi possiamo concludere che ci siano circa 100 accordatori a Chicago.

Ad inizio 2022, se su Google si inserisce la frase “Chicago piano tuners” si ottengono 61 riferimenti: considerato che non avevamo nessuna informazione e abbiamo fatto solo stime grossolane per ordini di grandezza, abbiamo ottenuto un risultato molto vicino a quello reale. Incredibile vero?

Questa maniera di ragionare è sicuramente una delle eredità più importanti che ci ha lasciato Fermi. Non è un caso se alcune delle aziende più importanti come McKinsey e Goldman Sachs utilizzino i problemi di Fermi come uno dei principali strumenti di valutazione dei candidati durante i colloqui. Io stesso, nel lontano 1997, durante uno dei miei primi colloqui con una società di consulenza, fui immediatamente posto di fronte ad un problema di Fermi: quante biciclette ci sono in Italia? Esercitatevi a rispondere!

Il Trinity Test

Il 16 luglio del 1945, a Los Alamos, era il giorno dell’esplosione di prova della prima bomba atomica, il cosiddetto Trinity Test. Oppenheimer, Groves, Rabi e altri personaggi importanti avrebbero assistito al test dalla cima di una piccola altura chiamata Compañia Hill, mentre Fermi desiderava rimanere allo scoperto, avvicinandosi al massimo alla detonazione. Scelse quindi un punto di osservazione nella piana desertica, a una quindicina di chilometri dal sito di esplosione.

Quando fu il momento della detonazione, Fermi iniziò a contare i secondi non appena vide la luce e tirò fuori di tasca delle striscioline di carta: era questo il motivo per cui voleva essere allo scoperto e non in un bunker. Le tenne in alto, sopra la testa, e mentre contava i secondi che mancavano all’onda d’urto cominciò a lasciarle cadere. Quando l’onda li travolse ad una velocità di circa 350 metri al secondo, le lasciò cadere tutte e le guardò volare via: percorsero circa 2,5 metri. Fermi annunciò a chi lo poteva sentire che l’esplosione equivaleva a circa dieci chiloton.

Aveva preparato questo piccolo esperimento la sera prima: era semplicissimo, basato su calcoli approssimativi, ma arrivava ad una risposta straordinariamente vicina al vero. In seguito gli specialisti stimarono per l’esplosione un valore di 18 chiloton, ma Fermi aveva ottenuto una risposta ragionevole prima di chiunque altro.

Fermi e i principi primi

Fermi era in grado di arrivare a soluzioni ragionevoli molto prima degli altri perché ragionava per principi primi, cioè era in grado di scomporre un problema nei suoi elementi essenziali e ragionava a partire da quelli trascurando tutto il resto.

Fermi non accumulò mai una grande biblioteca di fisica; si limitava ai testi di riferimento essenziali, preferendo dedurre per conto proprio quanto avrebbe potuto trovare in un libro.

Nell’estate del 1943, si trovava nella mensa del Met Lab, nella foresta di Argonne vicino a Chicago, e insieme ad alcuni colleghi stava discutendo su come i neutroni potessero obbedire ad una legge di rifrazione simile a quella dei raggi X. Fermi osservò che non riusciva a ricordare la formula esatta per la rifrazione dei raggi X e un collega di nome Alvarez, fece notare che la si poteva trovare in un libro di testo che aveva in ufficio, e si propose di andarlo a prendere. Fermi gli disse di non disturbarsi, perché l’avrebbe ricavata da sé. Alvarez prosegue così il racconto: “avevo riflettuto a lungo sui raggi X come studente di Compton, ma non avevo mai visto la formula dell’indice di rifrazione ricavata dai principi di base. Enrico scrisse alla lavagna le classiche equazioni di Maxwell per il campo elettromagnetico e poi in sei passaggi ricavò la formula.”

Conclusioni

Fermi ci insegna una strategia per arrivare velocemente ad una soluzione ragionevole di problemi che potrebbero sembrare complessi, anche se non disponiamo delle informazioni necessarie. Occorre però avere la capacità di individuare le variabili chiave, i principi primi che portano alla soluzione del problema. E su questo aspetto che dobbiamo focalizzarci quando vogliamo arrivare velocemente ad una risposta: scomporre il problema nei passaggi fondamentali e scartare quelli inutili. L’individuazione delle variabili chiave è più importante della stima delle variabili stesse, che può anche essere approssimata all’ordine di grandezza. Meglio stimare approssimativamente le variabili corrette piuttosto che essere precisi su quelle che non contano. Come diceva Keynes “preferisco essere approssimativamente corretto piuttosto che sbagliare con precisione”.

 

“Preferisco essere approssimativamente corretto piuttosto che sbagliare con precisione.” (John Maynard Keynes)

Grazie alla sua capacità di analizzare velocemente problemi importanti, Fermi fu in grado di rimanere all’avanguardia nel suo campo per tutta la carriera e, unico tra i fisici del suo tempo, a muoversi tra tutte le sottodiscipline, astrofisica, fisica nucleare, fisica delle particelle e così via. E’ stato inoltre l’unico esperto nella teoria e negli esperimenti allo stesso tempo, caso più unico che raro tra i grandi fisici. Non è un caso se venne definito come “l’ultimo uomo che sapeva tutto”.

Bibliografia:

Schwartz, David N. Enrico Fermi. L’ultimo uomo che sapeva tutto. Solferino, 2021.

Articolo a cura di Thinkinpark.it